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Maths, Physique & Chimie

Un tore plat en 3D

Pour la première fois, des mathématiciens et informaticiens sont parvenus à construire et représenter l'image d'un tore plat dans un espace à trois dimensions.

Un Pac-Man évoluant dans un tore plat © Universcience 2012

Les géographes vous le dirons : projeter l’image d’une sphère sur un plan n’est pas sans poser de problème. La projection de Mercator, par exemple, ne respecte par les distances, ce qui explique pourquoi les pôles y sont déformés.

Les mathématiciens sont également confrontés à des problématiques de ce genre. Prenez un « tore plat », par exemple… Un tore plat, c’est un espace virtuel à 2 dimensions, comme ce carré, mais sans aucun bord. Si bien que si un Pac-Man disparait d’un côté, il réapparait de l’autre.

© Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert

Pour convertir cet espace à 2 dimensions en un objet à 3 dimensions, il est possible de le replier une première fois sur lui même pour former un tube, puis une seconde fois pour en faire un tore. Et effectivement, un Pac-Man évoluant à sa surface ne butera jamais sur un bord.

Le problème, c’est que cette représentation ne respecte pas les distances. Faire le tour du tore n’est pas équivalent à faire le tour de sa section. Une forme respectant les distances est-elle possible ? Depuis les années 50, des scientifiques, dont prix Nobel Nicolaas Kuiper, l’affirment. Mais aucune solution, jusqu’à présent, n’avait été proposée. C’est désormais chose faite. En exploitant les travaux réalisés dans les années 70 par le Russe Mikhail Gromov, des chercheurs français de Lyon et de Grenoble ont réussi à concevoir un tel objet.

© Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert

Ils sont d’abord partis d’un tore et lui ont appliqué une succession infinie d’ondulations. Après un lourd calcul informatique, il en ressort cet objet, très comparable à un fractal, qui respecte rigoureusement les distances de l’espace initial : faire le tour du tore, en vert, équivaut bien à faire le tour de sa section, en noir.

© Borrelli, Jabrane, Lazarus, Thibert

Au-delà de la performance, ces travaux ouvrent des perspectives en mathématiques appliquées, notamment pour la visualisation des solutions des équations différentielles qu'on rencontre parfois en physique ou en biologie.

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