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Jean-Pierre Bourguignon, directeur
de recherche au CNRS, directeur de l'Institut des hautes études
scientifiques à Bures-sur-Yvette, professeur de mathématiques à l'Ecole
Polytechnique.
La combinatoire est la partie des mathématiques qui s'intéresse
au dénombrement de configurations d'objets mathématiques de
toutes sortes (des nombres, des formes) soumises à diverses contraintes.
On peut lui rattacher divers jeux ou puzzles mathématiques. Un problème
fameux de combinatoire est la détermination des coefficients du binôme
résolu par Pascal, d'où le nom de « triangle de
Pascal » donné à la présentation de sa solution.
Un autre puzzle bien connu consiste à examiner quand un quadrillage
privé d'une ou plusieurs cases peut être couvert par des dominos.
Le jeu des cavaliers, sur lequel est centrée la conférence,
provient d'une étude combinatoire conduite par le mathématicien
norvégien Skolem. C'est Jean Brette qui lui a donné ce nom
et en a fait l'exploration lors d'une expérience pédagogique
menée d'abord dans une école primaire de Chilly-Mazarin,
puis poursuivie à Villeneuve-Saint-Georges. Un nombre entier n étant
choisi (8 est un bon choix pour explorer le jeu), il consiste à rechercher
les arrangements des nombres de 1 à n répétés
deux fois tels que les deux occurrences du même nombre soient exactement
distantes de la valeur du nombre. Dans le cas où n=8, on peut dire
de façon imagée que le jeu consiste à ranger 8 cavaliers
dont les jambes sont jointes (pour 1er cavalier) ou écartées
de 1 à 7 cases (pour les cavaliers correspondant aux nombres 2 à 8)
sans laisser aucune case libre.
L'intérêt principal du jeu réside dans le fait que
suivant la valeur du nombre n, le jeu possède des solutions ou non
sans que cela soit évident à première vue. Ceci permet
d'introduire de jeunes enfants à formuler des hypothèses et à comprendre
la nécessité de prouver des assertions, une première
approche de la notion de démonstration, centrale à presque
toute activité mathématique.
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